En quoi un arbre couvrant un goulot d'étranglement minimum est-il différent d'un arbre couvrant minimum?
Un goulot d'étranglement minimal couvrant un graphe pondéré G est un arbre couvrant de G tel que minimise le poids maximum de n'importe quel Edge dans le Spanning Tree. Un MBST n'est pas nécessairement un MST (minimum spanning tree).
Veuillez donner un exemple où ces déclarations ont un sens.
Regardez le exemple MST sur Wikipedia pour référence:
Un goulot d'étranglement dans un arbre couvrant est un bord de poids maximum dans cet arbre. Il peut y avoir plusieurs goulots d'étranglement (tous du même poids bien sûr) dans un arbre couvrant. Dans le Wikipedia MST, il y a deux goulots d'étranglement de poids 8.
Maintenant, prenez un arbre couvrant minimum d'un graphique donné (il peut y avoir plusieurs MST, tous avec le même poids Edge total bien sûr) et appelez le poids Edge maximum B. Dans notre exemple B = 8.
Tout arbre couvrant qui a également un goulot d'étranglement de B = 8 est un MBST. Mais ce n'est peut-être pas un MST (car le poids total de l'Edge est plus grand que le meilleur possible).
Donc, prenez le Wikipedia MST et modifiez-le (ajoutez/supprimez quelques bords) afin que
- il reste un arbre couvrant, et
- il n'utilise toujours pas de poids> 8, mais
- vous augmentez le poids total de l'Edge
Par exemple, changez simplement le sous-arbre "à gauche" du Wikipedia MST (composé des poids {2, 2, 3}) en {2, 3, 6}, augmentant ainsi le poids total du bord de 4 sans changer le goulot d'étranglement de 8. Bingo, vous avez créé un MBST qui n'est pas un MST.
Avant de répondre à votre question, permettez-moi de définir certains des termes utilisés ici ...
1) Spanning Tree: Spanning Tree d'un graphique donné est un arbre qui couvre tous les sommets de ce graphique.
2) Arbre couvrant minimum (MST): MST d'un graphique donné est un arbre couvrant dont la longueur est minimale parmi tous les arbres couvrant possibles de ce graphique. Plus clairement, pour un graphique donné, énumérez tous les arbres couvrant possibles (qui peuvent être très grands) et choisissez celui dont la somme des poids des arêtes est minimale.
3) Arbre couvrant le goulot d'étranglement minimum (MBST): Le MBST d'un graphe donné est un arbre couvrant dont le poids maximal des bords est minimum parmi tous les arbres couvrant possibles. Plus clairement, pour un graphique donné, répertoriez tous les arbres enjambants possibles et le poids maximum des bords pour chacun des arbres enjambants. Parmi ceux-ci, choisissez l'arbre couvrant dont le poids maximum du bord est minimum.
Voyons maintenant l'image suivante avec un graphique à quatre nœuds ...
Le graphique-A est le graphique original donné. Si je liste tous les arbres couvrant possibles pour ce graphique et que je choisis celui dont la somme des poids des bords est minimale, alors j'obtiendrai le graphique-B. Le graphique B est donc le Spanning Tree minimum (MST). Notez que son poids total est 1 + 2 + 3 = 6.
Maintenant, si je choisis un arbre couvrant dont le poids maximum de bord est minimum (c'est-à-dire MBST), alors je peux finir par ramasser soit Graph-B (ou) Graph-C. Notez que ces deux arbres couvrants ont un poids Edge maximum 3, qui est minimum parmi tous les arbres enjambants possibles.
D'après le Graph-B et le Graph-C, il est clair que même si le Graph-C est un MBST, ce n'est pas du MST. Parce que son poids total est de 1 + 3 + 3 = 7, ce qui est supérieur au poids total de MST dessiné dans le graphique B (c'est-à-dire 6).
MBST n'est donc pas nécessairement un MST d'un graphique donné. Mais le MST doit être MBST.