Que représente exactement la grande notation Ө?
Je suis vraiment confus quant aux différences entre les grandes notations O, Big Omega et Big Theta.
Je comprends que big O est la limite supérieure et Big Omega est la limite inférieure, mais que représente exactement big (thêta)?
J'ai lu que cela signifieétroitement lié, mais qu'est-ce que cela signifie?
Cela signifie que l'algorithme est à la fois big-O et big-Omega dans la fonction donnée.
Par exemple, s'il s'agit de Ө(n), il existe une constante k, telle que votre fonction (exécution, peu importe), est supérieure à n*k pour une variable suffisamment grande n et une autre constante K telle que votre fonction est inférieure à n*K pour suffisamment grand n.
En d'autres termes, pour n suffisamment grand, il est pris en sandwich entre deux fonctions linéaires:
Pour k < K et n suffisamment grand, n*k < f(n) < n*K
Commençons par comprendre ce que sont le gros O, le grand Theta et le grand Omega. Ils sont tous ensembles de fonctions.
Big O donne le asymptotique lié supérieur, tandis que le grand Omega donne une borne inférieure. Big Theta donne les deux.
Tout ce qui est Ө(f(n)) est également O(f(n)), mais pas l'inverse .T(n) est dit être dans Ө(f(n)) s'il est à la fois dans O(f(n)) et dans Omega(f(n)).
Dans la terminologie des ensembles, Ө(f(n)) EST LE INTERSECTION DE O(f(n)) ET Omega(f(n))
Par exemple, le pire des cas de fusion est à la fois O(n*log(n)) et Omega(n*log(n)) - et donc aussi à Ө(n*log(n)), mais également à O(n^2), puisque n^2 est asymptotiquement "plus grand" que lui. Cependant, il s’agit de notӨ(n^2), puisque l’algorithme n’est pas Omega(n^2).
Explication mathématique un peu plus profonde
O(n) est la limite supérieure asymptotique. Si T(n) est O(f(n)), cela signifie que, à partir d'un certain n0, il existe une constante C telle que T(n) <= C * f(n). Par ailleurs, Big-Omega dit qu'il existe une constante C2 telle que T(n) >= C2 * f(n))).
Ne confondez pas!
Ne pas confondre avec l'analyse des cas les plus, des meilleurs et des cas moyens: les trois notations (Omega, O, Theta) sont not liées aux analyses des cas les meilleurs, les plus mauvais et les plus moyens des algorithmes. Chacun de ceux-ci peut être appliqué à chaque analyse.
Nous l'utilisons généralement pour analyser la complexité des algorithmes (comme l'exemple de tri par fusion ci-dessus). Lorsque nous disons que "l'algorithme A est O(f(n))", ce que nous voulons vraiment dire est "La complexité de l'algorithme dans le pire des cas.1 L’analyse de cas est O(f(n)) "- ce qui signifie qu’elle est" similaire "(ou formellement, pas pire que) la fonction f(n).
Pourquoi nous occupons-nous de la liaison asymptotique d'un algorithme?
Eh bien, il y a plusieurs raisons à cela, mais je pense que les plus importantes d'entre elles sont:
- Il est beaucoup plus difficile de déterminer la fonction de complexité exacte, nous "faisons donc des compromis" sur les notations big-O/big-Theta, qui sont suffisamment informatives en théorie.
- Le nombre exact d'opérations dépend également de la plate-forme Par exemple, si nous avons un vecteur (liste) de 16 nombres. Combien d'opérations cela prendra-t-il? La réponse est: ça dépend. Certains processeurs autorisent les ajouts de vecteurs, d'autres non. La réponse varie donc selon les implémentations et les machines, ce qui est une propriété non souhaitée. La notation big-O est cependant beaucoup plus constante entre les machines et les implémentations.
Pour illustrer ce problème, consultez les graphiques suivants: 
Il est clair que f(n) = 2*n est "pire" que f(n) = n. Mais la différence n’est pas aussi radicale que dans l’autre fonction. Nous pouvons voir que f(n)=logn devient rapidement beaucoup plus bas que les autres fonctions, et f(n) = n^2 devient rapidement beaucoup plus haut que les autres.
Donc, à cause des raisons ci-dessus, nous "ignorons" les facteurs constants (2 * dans l'exemple des graphiques) et prenons uniquement la notation big-O.
Dans l'exemple ci-dessus, f(n)=n, f(n)=2*n sera à la fois dans O(n) et dans Omega(n) - et sera donc également dans Theta(n).
D'autre part - f(n)=logn sera dans O(n) (il est "meilleur" que f(n)=n), mais NE SERA PAS dans Omega(n) - et ne sera donc PAS aussi dans Theta(n).
Symétriquement, f(n)=n^2 sera dans Omega(n), mais PAS dans O(n), et donc - n'est pas non plus Theta(n).
1Habituellement, mais pas toujours. quand la classe d'analyse (pire, moyenne et meilleure) est manquante, nous entendons vraiment le pire des cas.
Theta (n): Une fonction f(n) appartient à Theta(g(n)), s'il existe des constantes positives c1 et c2 telles que f(n) puisse être pris en sandwich entre c1(g(n)) et c2(g(n)). c'est-à-dire qu'il donne à la fois la limite supérieure et la limite inférieure.
Theta (g (n)) = {f(n): il existe des constantes positives c1, c2 et n1 telles que 0 <= c1 (g (n)) <= f (n) <= c2 (g (n)) pour tout n> = n1}
lorsque nous disons f(n)=c2(g(n)) ou f(n)=c1(g(n)), cela représente une limite asymptotiquement étroite.
O (n): Il ne donne que la limite supérieure (peut être serré ou non)
O(g(n)) = {f(n): il existe des constantes positives c et n1 telles que 0 <= f (n) <= cg (n) pour tout n> = n1}
ex: le 2*(n^2) = O(n^2) lié est asymptotiquement serré, alors que le 2*n = O(n^2) lié n'est pas asymptotiquement serré.
o (n): Il ne donne que la limite supérieure (jamais une limite étroite)
la différence notable entre O(n) et o(n) est f(n) est inférieure à cg (n) pour tout n> = n1 mais non égal à O (n).
ex: 2*n = o(n^2), mais 2*(n^2) != o(n^2)
J’espère que c’est ce que vous voudrez peut-être trouver dans le classique CLRS (page 66): 
Grande notation Thêta:
Rien à gâcher mon pote !!
Si nous avons une valeur positive, les fonctions f(n) et g(n) prennent un argument positif n, alors ϴ (g (n)) défini comme {f (n): il existe des constantes c1 , c2 et n1 pour tout n> = n1}
où c1 g (n) <= f (n) <= c2 g (n)
Prenons un exemple:
soit f (n) = 
g (n) = 
c1 = 5 et c2 = 8 et n1 = 1
Parmi toutes les notations, la notation donne la meilleure intuition sur le taux de croissance de la fonction car elle nous donne un lien étroit contrairement à big-oh et big -omega , Qui donne respectivement les limites supérieure et inférieure.
ϴ nous dit que g(n) est aussi proche que f (n), le taux de croissance de g(n) est aussi proche du taux de croissance de f(n) comme possible.
