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quel est un moyen efficace de trouver des décimales répétitives

J'essaie de trouver un algorithme efficace dans Java pour trouver la partie décimale répétitive de deux entiers a et b où a/b.

par exemple. 5/7 = 0,714258 714258 ....

Je ne connais actuellement que la méthode de la division longue.

algorithmsmath
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Jun Hao

Je crois qu'il y a deux approches générales ici, vous pouvez essentiellement rechercher par "force brute" la chaîne répétitive la plus longue, ou vous pouvez la résoudre comme un problème de théorie des nombres.

Cela fait longtemps que je n'ai pas rencontré ce problème, mais un cas spécial (1/n) est le problème # 26 sur Project Euler, donc vous pourrez peut-être trouver plus d'informations en recherchant des solutions efficaces pour ce nom spécifique. Une recherche nous mène au site Web d'Eli Bendersky, où il explique sa solution . Voici une partie de la théorie de Mathworld page Décimales Expansions :

Toute fraction non régulière m/n Est périodique et a une période lambda(n) indépendante de m, qui est au plus de n-1 Chiffres. Si n est relativement premier à 10, alors la période lambda(n) de m/n Est un diviseur de phi(n) et a au plus phi(n) chiffres, où phi est la fonction de totient. Il s'avère que lambda(n) est le ordre multiplicatif de 10 (mod n) (Glaisher 1878, Lehmer 1941). Le nombre de chiffres dans la partie répétitive de l'expansion décimale d'un nombre rationnel peut également être trouvé directement à partir de l'ordre multiplicatif de son dénominateur.

Ma théorie des nombres est un peu rouillée en ce moment, donc le mieux que je puisse faire est de vous orienter dans cette direction.

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Daniel B

Soit n < d, Et vous essayez de comprendre la partie répétitive de n/d. Soit p le nombre de chiffres de la partie répétitive: puis n/d = R * 10^(-p) + R * 10^(-2p) + ... = R * ((10^-p)^1 + (10^-p)^2 + ...). La partie entre crochets est une série géométrique, égale à 1/(10^p - 1).

Donc n / d = R / (10^p - 1). Réorganisez pour obtenir R = n * (10^p - 1) / d. Pour trouver R, boucle p de 1 à l'infini et arrête dès que d divise uniformément n * (10^p - 1).

Voici une implémentation en Python:

def f(n, d):
    x = n * 9
    z = x
    k = 1
    while z % d:
        z = z * 10 + x
        k += 1
    return k, z / d

(k garde une trace de la longueur de la séquence répétée, vous pouvez ainsi faire la distinction entre 1/9 et 1/99, par exemple)

Notez que cette implémentation (ironiquement) boucle pour toujours si l'expansion décimale est finie, mais se termine si elle est infinie! Vous pouvez vérifier ce cas, car n/d N'aura une représentation décimale finie que si tous les facteurs premiers de d qui ne sont pas 2 ou 5 sont également présents dans n.

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valtron

Division longue? : /

Transformez le résultat en chaîne, puis appliquez-y cet algorithme . Utilisez BigDecimal si votre chaîne n'est pas assez longue avec des types ordinaires.

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Robert Harvey