Catmull-rom courbe sans cuspides et sans auto-intersections
J'ai le code suivant pour calculer des points entre quatre points de contrôle pour générer une courbe de Catmull-Rom:
CGPoint interpolatedPosition(CGPoint p0, CGPoint p1, CGPoint p2, CGPoint p3, float t)
{
float t3 = t * t * t;
float t2 = t * t;
float f1 = -0.5 * t3 + t2 - 0.5 * t;
float f2 = 1.5 * t3 - 2.5 * t2 + 1.0;
float f3 = -1.5 * t3 + 2.0 * t2 + 0.5 * t;
float f4 = 0.5 * t3 - 0.5 * t2;
float x = p0.x * f1 + p1.x * f2 + p2.x * f3 + p3.x * f4;
float y = p0.y * f1 + p1.y * f2 + p2.y * f3 + p3.y * f4;
return CGPointMake(x, y);
}
Cela fonctionne bien, mais je veux créer quelque chose qui s'appelle, selon moi, le paramétrage centripète. Cela signifie que la courbe n'aura pas de cuspides ni d'auto-intersections. Si je déplace un point de contrôle très près d'un autre, la courbe devrait devenir "plus petite". J'ai écarquillé les yeux pour essayer de trouver un moyen de le faire. Quelqu'un sait-il comment faire ça?
Je devais aussi implémenter ceci pour le travail. Le concept fondamental à partir duquel vous devez commencer est que la principale différence entre l'implémentation classique de Catmull-Rom et les versions modifiées réside dans la façon dont elles traitent le temps.
Dans la version non paramétrée de votre implémentation d'origine Catmull-Rom, t commence à 0 et se termine par 1 et calcule la courbe de P1 à P2. Dans l'implémentation temporelle paramétrée, t commence par 0 à P0 et continue d'augmenter sur les quatre points. Ainsi, dans le cas de l'uniformité, il s'agirait de 1 en P1 et de 2 en P2, et vous passeriez des valeurs allant de 1 à 2 pour votre interpolation.
Le cas d'accord montre | Pi + 1 - P | comme le laps de temps change. Cela signifie simplement que vous pouvez utiliser la distance en ligne droite entre les points de chaque segment pour calculer la longueur réelle à utiliser. Le cas centripète utilise simplement une méthode légèrement différente pour calculer la durée optimale à utiliser pour chaque segment.
Nous avons donc maintenant besoin de savoir comment trouver des équations qui nous permettront d’intégrer nos nouvelles valeurs temporelles. L'équation typique de Catmull-Rom ne contient qu'un t, le temps pour lequel vous essayez de calculer une valeur. J'ai trouvé le meilleur article pour décrire comment ces paramètres sont calculés ici: http://www.cemyuksel.com/research/catmullrom_param/catmullrom.pdf . Ils se concentraient sur une évaluation mathématique des courbes, mais la formule cruciale de Barry et Goldman (1)
Dans le diagramme ci-dessus, les flèches signifient "multiplié par" le rapport indiqué dans la flèche.
Cela nous donne ensuite ce dont nous avons besoin pour effectuer un calcul afin d’obtenir le résultat souhaité. X et Y sont calculés indépendamment, bien que j’ai utilisé le facteur "Distance" pour modifier le temps en fonction de la distance 2D et non de la distance 1D.
Résultats de test:
(1) P. J. Barry et R. N. Goldman. Un algorithme d'évaluation récursif pour une classe de splines catmull-rom. SIGGRAPH Computer Graphics, 22 (4): 199 {204, 1988.
Le code source de mon implémentation finale en Java se présente comme suit:
/**
* This method will calculate the Catmull-Rom interpolation curve, returning
* it as a list of Coord coordinate objects. This method in particular
* adds the first and last control points which are not visible, but required
* for calculating the spline.
*
* @param coordinates The list of original straight line points to calculate
* an interpolation from.
* @param pointsPerSegment The integer number of equally spaced points to
* return along each curve. The actual distance between each
* point will depend on the spacing between the control points.
* @return The list of interpolated coordinates.
* @param curveType Chordal (stiff), Uniform(floppy), or Centripetal(medium)
* @throws gov.ca.water.shapelite.analysis.CatmullRomException if
* pointsPerSegment is less than 2.
*/
public static List<Coord> interpolate(List<Coord> coordinates, int pointsPerSegment, CatmullRomType curveType)
throws CatmullRomException {
List<Coord> vertices = new ArrayList<>();
for (Coord c : coordinates) {
vertices.add(c.copy());
}
if (pointsPerSegment < 2) {
throw new CatmullRomException("The pointsPerSegment parameter must be greater than 2, since 2 points is just the linear segment.");
}
// Cannot interpolate curves given only two points. Two points
// is best represented as a simple line segment.
if (vertices.size() < 3) {
return vertices;
}
// Test whether the shape is open or closed by checking to see if
// the first point intersects with the last point. M and Z are ignored.
boolean isClosed = vertices.get(0).intersects2D(vertices.get(vertices.size() - 1));
if (isClosed) {
// Use the second and second from last points as control points.
// get the second point.
Coord p2 = vertices.get(1).copy();
// get the point before the last point
Coord pn1 = vertices.get(vertices.size() - 2).copy();
// insert the second from the last point as the first point in the list
// because when the shape is closed it keeps wrapping around to
// the second point.
vertices.add(0, pn1);
// add the second point to the end.
vertices.add(p2);
} else {
// The shape is open, so use control points that simply extend
// the first and last segments
// Get the change in x and y between the first and second coordinates.
double dx = vertices.get(1).X - vertices.get(0).X;
double dy = vertices.get(1).Y - vertices.get(0).Y;
// Then using the change, extrapolate backwards to find a control point.
double x1 = vertices.get(0).X - dx;
double y1 = vertices.get(0).Y - dy;
// Actaully create the start point from the extrapolated values.
Coord start = new Coord(x1, y1, vertices.get(0).Z);
// Repeat for the end control point.
int n = vertices.size() - 1;
dx = vertices.get(n).X - vertices.get(n - 1).X;
dy = vertices.get(n).Y - vertices.get(n - 1).Y;
double xn = vertices.get(n).X + dx;
double yn = vertices.get(n).Y + dy;
Coord end = new Coord(xn, yn, vertices.get(n).Z);
// insert the start control point at the start of the vertices list.
vertices.add(0, start);
// append the end control ponit to the end of the vertices list.
vertices.add(end);
}
// Dimension a result list of coordinates.
List<Coord> result = new ArrayList<>();
// When looping, remember that each cycle requires 4 points, starting
// with i and ending with i+3. So we don't loop through all the points.
for (int i = 0; i < vertices.size() - 3; i++) {
// Actually calculate the Catmull-Rom curve for one segment.
List<Coord> points = interpolate(vertices, i, pointsPerSegment, curveType);
// Since the middle points are added twice, once for each bordering
// segment, we only add the 0 index result point for the first
// segment. Otherwise we will have duplicate points.
if (result.size() > 0) {
points.remove(0);
}
// Add the coordinates for the segment to the result list.
result.addAll(points);
}
return result;
}
/**
* Given a list of control points, this will create a list of pointsPerSegment
* points spaced uniformly along the resulting Catmull-Rom curve.
*
* @param points The list of control points, leading and ending with a
* coordinate that is only used for controling the spline and is not visualized.
* @param index The index of control point p0, where p0, p1, p2, and p3 are
* used in order to create a curve between p1 and p2.
* @param pointsPerSegment The total number of uniformly spaced interpolated
* points to calculate for each segment. The larger this number, the
* smoother the resulting curve.
* @param curveType Clarifies whether the curve should use uniform, chordal
* or centripetal curve types. Uniform can produce loops, chordal can
* produce large distortions from the original lines, and centripetal is an
* optimal balance without spaces.
* @return the list of coordinates that define the CatmullRom curve
* between the points defined by index+1 and index+2.
*/
public static List<Coord> interpolate(List<Coord> points, int index, int pointsPerSegment, CatmullRomType curveType) {
List<Coord> result = new ArrayList<>();
double[] x = new double[4];
double[] y = new double[4];
double[] time = new double[4];
for (int i = 0; i < 4; i++) {
x[i] = points.get(index + i).X;
y[i] = points.get(index + i).Y;
time[i] = i;
}
double tstart = 1;
double tend = 2;
if (!curveType.equals(CatmullRomType.Uniform)) {
double total = 0;
for (int i = 1; i < 4; i++) {
double dx = x[i] - x[i - 1];
double dy = y[i] - y[i - 1];
if (curveType.equals(CatmullRomType.Centripetal)) {
total += Math.pow(dx * dx + dy * dy, .25);
} else {
total += Math.pow(dx * dx + dy * dy, .5);
}
time[i] = total;
}
tstart = time[1];
tend = time[2];
}
double z1 = 0.0;
double z2 = 0.0;
if (!Double.isNaN(points.get(index + 1).Z)) {
z1 = points.get(index + 1).Z;
}
if (!Double.isNaN(points.get(index + 2).Z)) {
z2 = points.get(index + 2).Z;
}
double dz = z2 - z1;
int segments = pointsPerSegment - 1;
result.add(points.get(index + 1));
for (int i = 1; i < segments; i++) {
double xi = interpolate(x, time, tstart + (i * (tend - tstart)) / segments);
double yi = interpolate(y, time, tstart + (i * (tend - tstart)) / segments);
double zi = z1 + (dz * i) / segments;
result.add(new Coord(xi, yi, zi));
}
result.add(points.get(index + 2));
return result;
}
/**
* Unlike the other implementation here, which uses the default "uniform"
* treatment of t, this computation is used to calculate the same values but
* introduces the ability to "parameterize" the t values used in the
* calculation. This is based on Figure 3 from
* http://www.cemyuksel.com/research/catmullrom_param/catmullrom.pdf
*
* @param p An array of double values of length 4, where interpolation
* occurs from p1 to p2.
* @param time An array of time measures of length 4, corresponding to each
* p value.
* @param t the actual interpolation ratio from 0 to 1 representing the
* position between p1 and p2 to interpolate the value.
* @return
*/
public static double interpolate(double[] p, double[] time, double t) {
double L01 = p[0] * (time[1] - t) / (time[1] - time[0]) + p[1] * (t - time[0]) / (time[1] - time[0]);
double L12 = p[1] * (time[2] - t) / (time[2] - time[1]) + p[2] * (t - time[1]) / (time[2] - time[1]);
double L23 = p[2] * (time[3] - t) / (time[3] - time[2]) + p[3] * (t - time[2]) / (time[3] - time[2]);
double L012 = L01 * (time[2] - t) / (time[2] - time[0]) + L12 * (t - time[0]) / (time[2] - time[0]);
double L123 = L12 * (time[3] - t) / (time[3] - time[1]) + L23 * (t - time[1]) / (time[3] - time[1]);
double C12 = L012 * (time[2] - t) / (time[2] - time[1]) + L123 * (t - time[1]) / (time[2] - time[1]);
return C12;
}
Il existe un moyen beaucoup plus simple et plus efficace d'implémenter cela, qui vous oblige uniquement à calculer vos tangentes à l'aide d'une formule différente, sans avoir à implémenter l'algorithme d'évaluation récursif de Barry et Goldman.
Si vous prenez la paramétrisation de Barry-Goldman (référencée dans la réponse de Ted) C(t) pour les nœuds (t0, t1, t2, t3) et les points de contrôle (P0, P1, P2, P3), elle est fermée La forme est assez compliquée, mais à la fin, c’est toujours un polynôme cubique quand on la contraint à l’intervalle (t1, t2). Il ne reste donc plus qu'à décrire les valeurs et les tangentes aux deux extrémités t1 et t2. Si nous élaborons ces valeurs (je l’ai fait dans Mathematica), nous trouvons
C(t1) = P1
C(t2) = P2
C'(t1) = (P1 - P0) / (t1 - t0) - (P2 - P0) / (t2 - t0) + (P2 - P1) / (t2 - t1)
C'(t2) = (P2 - P1) / (t2 - t1) - (P3 - P1) / (t3 - t1) + (P3 - P2) / (t3 - t2)
Nous pouvons simplement le brancher sur la formule standard permettant de calculer une spline cubique } avec des valeurs et des tangentes données aux points finaux et nous avons notre spline non uniforme Catmull-Rom. Une mise en garde est que les tangentes ci-dessus sont calculées pour l'intervalle (t1, t2), donc si vous souhaitez évaluer la courbe dans l'intervalle standard (0,1), il vous suffit de redimensionner les tangentes en les multipliant avec le facteur (t2-t1). ).
J'ai mis un exemple de travail C++ sur Ideone: http://ideone.com/NoEbVM
Je vais aussi coller le code ci-dessous.
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
struct CubicPoly
{
float c0, c1, c2, c3;
float eval(float t)
{
float t2 = t*t;
float t3 = t2 * t;
return c0 + c1*t + c2*t2 + c3*t3;
}
};
/*
* Compute coefficients for a cubic polynomial
* p(s) = c0 + c1*s + c2*s^2 + c3*s^3
* such that
* p(0) = x0, p(1) = x1
* and
* p'(0) = t0, p'(1) = t1.
*/
void InitCubicPoly(float x0, float x1, float t0, float t1, CubicPoly &p)
{
p.c0 = x0;
p.c1 = t0;
p.c2 = -3*x0 + 3*x1 - 2*t0 - t1;
p.c3 = 2*x0 - 2*x1 + t0 + t1;
}
// standard Catmull-Rom spline: interpolate between x1 and x2 with previous/following points x0/x3
// (we don't need this here, but it's for illustration)
void InitCatmullRom(float x0, float x1, float x2, float x3, CubicPoly &p)
{
// Catmull-Rom with tension 0.5
InitCubicPoly(x1, x2, 0.5f*(x2-x0), 0.5f*(x3-x1), p);
}
// compute coefficients for a nonuniform Catmull-Rom spline
void InitNonuniformCatmullRom(float x0, float x1, float x2, float x3, float dt0, float dt1, float dt2, CubicPoly &p)
{
// compute tangents when parameterized in [t1,t2]
float t1 = (x1 - x0) / dt0 - (x2 - x0) / (dt0 + dt1) + (x2 - x1) / dt1;
float t2 = (x2 - x1) / dt1 - (x3 - x1) / (dt1 + dt2) + (x3 - x2) / dt2;
// rescale tangents for parametrization in [0,1]
t1 *= dt1;
t2 *= dt1;
InitCubicPoly(x1, x2, t1, t2, p);
}
struct Vec2D
{
Vec2D(float _x, float _y) : x(_x), y(_y) {}
float x, y;
};
float VecDistSquared(const Vec2D& p, const Vec2D& q)
{
float dx = q.x - p.x;
float dy = q.y - p.y;
return dx*dx + dy*dy;
}
void InitCentripetalCR(const Vec2D& p0, const Vec2D& p1, const Vec2D& p2, const Vec2D& p3,
CubicPoly &px, CubicPoly &py)
{
float dt0 = powf(VecDistSquared(p0, p1), 0.25f);
float dt1 = powf(VecDistSquared(p1, p2), 0.25f);
float dt2 = powf(VecDistSquared(p2, p3), 0.25f);
// safety check for repeated points
if (dt1 < 1e-4f) dt1 = 1.0f;
if (dt0 < 1e-4f) dt0 = dt1;
if (dt2 < 1e-4f) dt2 = dt1;
InitNonuniformCatmullRom(p0.x, p1.x, p2.x, p3.x, dt0, dt1, dt2, px);
InitNonuniformCatmullRom(p0.y, p1.y, p2.y, p3.y, dt0, dt1, dt2, py);
}
int main()
{
Vec2D p0(0,0), p1(1,1), p2(1.1,1), p3(2,0);
CubicPoly px, py;
InitCentripetalCR(p0, p1, p2, p3, px, py);
for (int i = 0; i <= 10; ++i)
cout << px.eval(0.1f*i) << " " << py.eval(0.1f*i) << endl;
}
Voici une version iOS du code de Ted. J'ai exclu les parties 'z'.
.h
typedef enum {
CatmullRomTypeUniform,
CatmullRomTypeChordal,
CatmullRomTypeCentripetal
} CatmullRomType ;
.m
-(NSMutableArray *)interpolate:(NSArray *)coordinates withPointsPerSegment:(NSInteger)pointsPerSegment andType:(CatmullRomType)curveType {
NSMutableArray *vertices = [[NSMutableArray alloc] initWithArray:coordinates copyItems:YES];
if (pointsPerSegment < 3)
return vertices;
//start point
CGPoint pt1 = [vertices[0] CGPointValue];
CGPoint pt2 = [vertices[1] CGPointValue];
double dx = pt2.x - pt1.x;
double dy = pt2.y - pt1.y;
double x1 = pt1.x - dx;
double y1 = pt1.y - dy;
CGPoint start = CGPointMake(x1*.5, y1);
//end point
pt2 = [vertices[vertices.count-1] CGPointValue];
pt1 = [vertices[vertices.count-2] CGPointValue];
dx = pt2.x - pt1.x;
dy = pt2.y - pt1.y;
x1 = pt2.x + dx;
y1 = pt2.y + dy;
CGPoint end = CGPointMake(x1, y1);
[vertices insertObject:[NSValue valueWithCGPoint:start] atIndex:0];
[vertices addObject:[NSValue valueWithCGPoint:end]];
NSMutableArray *result = [[NSMutableArray alloc] init];
for (int i = 0; i < vertices.count - 3; i++) {
NSMutableArray *points = [self interpolate:vertices forIndex:i withPointsPerSegment:pointsPerSegment andType:curveType];
if ([points count] > 0)
[points removeObjectAtIndex:0];
[result addObjectsFromArray:points];
}
return result;
}
-(double)interpolate:(double*)p time:(double*)time t:(double) t {
double L01 = p[0] * (time[1] - t) / (time[1] - time[0]) + p[1] * (t - time[0]) / (time[1] - time[0]);
double L12 = p[1] * (time[2] - t) / (time[2] - time[1]) + p[2] * (t - time[1]) / (time[2] - time[1]);
double L23 = p[2] * (time[3] - t) / (time[3] - time[2]) + p[3] * (t - time[2]) / (time[3] - time[2]);
double L012 = L01 * (time[2] - t) / (time[2] - time[0]) + L12 * (t - time[0]) / (time[2] - time[0]);
double L123 = L12 * (time[3] - t) / (time[3] - time[1]) + L23 * (t - time[1]) / (time[3] - time[1]);
double C12 = L012 * (time[2] - t) / (time[2] - time[1]) + L123 * (t - time[1]) / (time[2] - time[1]);
return C12;
}
-(NSMutableArray*)interpolate:(NSArray *)points forIndex:(NSInteger)index withPointsPerSegment:(NSInteger)pointsPerSegment andType:(CatmullRomType)curveType {
NSMutableArray *result = [[NSMutableArray alloc] init];
double x[4];
double y[4];
double time[4];
for (int i=0; i < 4; i++) {
x[i] = [points[index+i] CGPointValue].x;
y[i] = [points[index+i] CGPointValue].y;
time[i] = i;
}
double tstart = 1;
double tend = 2;
if (curveType != CatmullRomTypeUniform) {
double total = 0;
for (int i=1; i < 4; i++) {
double dx = x[i] - x[i-1];
double dy = y[i] - y[i-1];
if (curveType == CatmullRomTypeCentripetal) {
total += pow(dx * dx + dy * dy, 0.25);
}
else {
total += pow(dx * dx + dy * dy, 0.5); //sqrt
}
time[i] = total;
}
tstart = time[1];
tend = time[2];
}
int segments = pointsPerSegment - 1;
[result addObject:points[index+1]];
for (int i =1; i < segments; i++) {
double xi = [self interpolate:x time:time t:tstart + (i * (tend - tstart)) / segments];
double yi = [self interpolate:y time:time t:tstart + (i * (tend - tstart)) / segments];
NSLog(@"(%f,%f)",xi,yi);
[result addObject:[NSValue valueWithCGPoint:CGPointMake(xi, yi)]];
}
[result addObject:points[index+2]];
return result;
}
Aussi, voici une méthode pour transformer un tableau de points en un chemin de Bézier pour le dessin, en utilisant
-(UIBezierPath*)bezierPathFromPoints:(NSArray *)points withGranulaity:(NSInteger)granularity
{
UIBezierPath __block *path = [[UIBezierPath alloc] init];
NSMutableArray *curve = [self interpolate:points withPointsPerSegment:granularity andType:CatmullRomTypeCentripetal];
CGPoint __block p0 = [curve[0] CGPointValue];
[path moveToPoint:p0];
//use this loop to draw lines between all points
for (int idx=1; idx < [curve count]; idx+=1) {
CGPoint c1 = [curve[idx] CGPointValue];
[path addLineToPoint:c1];
};
//or use this loop to use actual control points (less smooth but probably faster)
// for (int idx=0; idx < [curve count]-3; idx+=3) {
// CGPoint c1 = [curve[idx+1] CGPointValue];
// CGPoint c2 = [curve[idx+2] CGPointValue];
// CGPoint p1 = [curve[idx+3] CGPointValue];
//
// [path addCurveToPoint:p1 controlPoint1:c1 controlPoint2:c2];
// };
return path;
}
J'ai codé quelque chose en Python (page adaptée de Catmull-Rom Wikipedia) qui compare des splines CR uniformes, centripédales et en corde (bien que vous puissiez définir alpha comme vous le souhaitez) en utilisant des données aléatoires (vous pouvez utiliser vos propres données et leurs fonctions fonctionne bien). Notez que pour les points finaux, je viens de prendre un rapide «hack» qui maintient la pente entre les deux premiers et derniers points, bien que la distance entre ce point et le premier/point connu perdu soit arbitraire (je la règle à 1% du domaine ... sans raison. Gardez cela à l’esprit avant d’appliquer à quelque chose d’important):
# coding: utf-8
# In[1]:
import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
get_ipython().magic(u'pylab inline')
# In[2]:
def CatmullRomSpline(P0, P1, P2, P3, a, nPoints=100):
"""
P0, P1, P2, and P3 should be (x,y) point pairs that define the Catmull-Rom spline.
nPoints is the number of points to include in this curve segment.
"""
# Convert the points to numpy so that we can do array multiplication
P0, P1, P2, P3 = map(numpy.array, [P0, P1, P2, P3])
# Calculate t0 to t4
alpha = a
def tj(ti, Pi, Pj):
xi, yi = Pi
xj, yj = Pj
return ( ( (xj-xi)**2 + (yj-yi)**2 )**0.5 )**alpha + ti
t0 = 0
t1 = tj(t0, P0, P1)
t2 = tj(t1, P1, P2)
t3 = tj(t2, P2, P3)
# Only calculate points between P1 and P2
t = numpy.linspace(t1,t2,nPoints)
# Reshape so that we can multiply by the points P0 to P3
# and get a point for each value of t.
t = t.reshape(len(t),1)
A1 = (t1-t)/(t1-t0)*P0 + (t-t0)/(t1-t0)*P1
A2 = (t2-t)/(t2-t1)*P1 + (t-t1)/(t2-t1)*P2
A3 = (t3-t)/(t3-t2)*P2 + (t-t2)/(t3-t2)*P3
B1 = (t2-t)/(t2-t0)*A1 + (t-t0)/(t2-t0)*A2
B2 = (t3-t)/(t3-t1)*A2 + (t-t1)/(t3-t1)*A3
C = (t2-t)/(t2-t1)*B1 + (t-t1)/(t2-t1)*B2
return C
def CatmullRomChain(P,alpha):
"""
Calculate Catmull Rom for a chain of points and return the combined curve.
"""
sz = len(P)
# The curve C will contain an array of (x,y) points.
C = []
for i in range(sz-3):
c = CatmullRomSpline(P[i], P[i+1], P[i+2], P[i+3],alpha)
C.extend(c)
return C
# In[8]:
# Define a set of points for curve to go through
Points = numpy.random.Rand(12,2)
x1=Points[0][0]
x2=Points[1][0]
y1=Points[0][1]
y2=Points[1][1]
x3=Points[-2][0]
x4=Points[-1][0]
y3=Points[-2][1]
y4=Points[-1][1]
dom=max(Points[:,0])-min(Points[:,0])
rng=max(Points[:,1])-min(Points[:,1])
prex=x1+sign(x1-x2)*dom*0.01
prey=(y1-y2)/(x1-x2)*dom*0.01+y1
endx=x4+sign(x4-x3)*dom*0.01
endy=(y4-y3)/(x4-x3)*dom*0.01+y4
print len(Points)
Points=list(Points)
Points.insert(0,array([prex,prey]))
Points.append(array([endx,endy]))
print len(Points)
# In[9]:
#Define alpha
a=0.
# Calculate the Catmull-Rom splines through the points
c = CatmullRomChain(Points,a)
# Convert the Catmull-Rom curve points into x and y arrays and plot
x,y = Zip(*c)
plt.plot(x,y,c='green',zorder=10)
# Plot the control points
px, py = Zip(*Points)
plt.plot(px,py,'or')
a=0.5
c = CatmullRomChain(Points,a)
x,y = Zip(*c)
plt.plot(x,y,c='blue')
a=1.
c = CatmullRomChain(Points,a)
x,y = Zip(*c)
plt.plot(x,y,c='red')
plt.grid(b=True)
plt.show()
# In[10]:
Points
# In[ ]:
code d'origine: https://en.wikipedia.org/wiki/Centripetal_Catmull%E2%80%93Rom_spline