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Courbe de Bézier quadratique: calculer des points

Je voudrais calculer un point sur une courbe quadratique. Pour l'utiliser avec l'élément canvas de HTML5.

Lorsque j'utilise la fonction quadraticCurveTo() en JavaScript, j'ai un point source, un point cible et un point de contrôle.

Comment puis-je calculer un point sur la courbe quadratique créée à disons t=0.5 avec "seulement" connaissant ces trois points?

mathpointcurvequadratic
53
Christian Engel

Utilisez la formule quadratique de Bézier, trouvée, par exemple, sur la page Wikipedia pour Courbes de Bézier :

quadratic Bezier formula

En pseudo-code, c'est

t = 0.5; // given example value
x = (1 - t) * (1 - t) * p[0].x + 2 * (1 - t) * t * p[1].x + t * t * p[2].x;
y = (1 - t) * (1 - t) * p[0].y + 2 * (1 - t) * t * p[1].y + t * t * p[2].y;

p[0] est le point de départ, p[1] est le point de contrôle et p[2] est le point final. t est le paramètre qui va de 0 à 1.

111
xan

Si quelqu'un a besoin de la forme cubique:

        //B(t) = (1-t)**3 p0 + 3(1 - t)**2 t P1 + 3(1-t)t**2 P2 + t**3 P3

        x = (1-t)*(1-t)*(1-t)*p0x + 3*(1-t)*(1-t)*t*p1x + 3*(1-t)*t*t*p2x + t*t*t*p3x;
        y = (1-t)*(1-t)*(1-t)*p0y + 3*(1-t)*(1-t)*t*p1y + 3*(1-t)*t*t*p2y + t*t*t*p3y;
30
Tatarize

J'ai créé cette démo:

// x = a * (1-t)³ + b * 3 * (1-t)²t + c * 3 * (1-t)t² + d * t³
//------------------------------------------------------------
// x = a - 3at + 3at² - at³ 
//       + 3bt - 6bt² + 3bt³
//             + 3ct² - 3ct³
//                    + dt³
//--------------------------------
// x = - at³  + 3bt³ - 3ct³ + dt³
//     + 3at² - 6bt² + 3ct²
//     - 3at + 3bt
//     + a
//--------------------------------
// 0 = t³ (-a+3b-3c+d) +  => A
//     t² (3a-6b+3c)   +  => B
//     t  (-3a+3b)     +  => c
//     a - x              => D
//--------------------------------

var A = d - 3*c + 3*b - a,
    B = 3*c - 6*b + 3*a,
    C = 3*b - 3*a,
    D = a-x;

// So we need to solve At³ + Bt² + Ct + D = 0

exemple complet ici

peut aider quelqu'un.

7
talkhabi

J'ai édité la réponse talkhabis (courbe cubique) pour que la courbe s'affiche avec les bonnes coordonnées. (Impossible de commenter) Les coordonnées Y devaient être modifiées (-p []. Y + 150). (Une nouvelle variable pour cela pourrait être une solution plus agréable et plus efficace, mais vous avez l'idée)

// Apply points to SVG and create the curve and controllers :

var path  =  document.getElementById('path'),
    ctrl1 =  document.getElementById('ctrl1'),
    ctrl2 =  document.getElementById('ctrl2'),
    D = 'M ' + p0.x + ' ' + (-p0.y+150) +
    'C ' + c0.x + ' ' + (-c0.y+150) +', ' + c1.x + ' ' + (-c1.y+150) + ', ' + p1.x + ' ' + (-p1.y+150);

path.setAttribute('d',D);
ctrl1.setAttribute('d','M'+p0.x+','+(-p0.y+150)+'L'+c0.x+','+(-c0.y+150));
ctrl2.setAttribute('d','M'+p1.x+','+(-p1.y+150)+'L'+c1.x+','+(-c1.y+150));

// Lets test the "Bezier Function" 

var t = 0, point = document.getElementById('point');

setInterval(function(){

  var p = Bezier(p0,c0,c1,p1,t);
  point.setAttribute('cx',p.x);
  point.setAttribute('cy',-p.y+150);

  t += 0.01;
  if(t>=1) t=0;

},50);


// OK ... Now tring to get "y" on cruve based on mouse "x" : 

var svg = document.getElementById('svg'),
    point2 = document.getElementById('point2');

svg.onmousemove = function(e){

    var x = (e.pageX - 50)/2,  
        y = (e.pageY - 50)/2;
   // "-50" because of "50px margin" on the left side 
   // and "/2" because the svg width is 300 units and 600 px => 300 = 600/2    

  // Get the x,y by mouse x
  var p = YBX(p0,c0,c1,p1,x); 

  point2.setAttribute('cx',p.x);
  point2.setAttribute('cy',-p.y+150);  
}

http://jsfiddle.net/u214gco8/1/

J'ai également créé du code C pour tester les résultats de la courbe cubique. Entrez simplement les coordonnées X et Y dans la fonction principale.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h> 
#include <math.h> 

void bezierCurve(int x[] , int y[]) 
{ 
    double xu = 0.0 , yu = 0.0 , u = 0.0 ; 
    int i = 0 ; 
    for(u = 0.0 ; u <= 1.0 ; u += 0.05) 
    { 
        xu = pow(1-u,3)*x[0]+3*u*pow(1-u,2)*x[1]+3*pow(u,2)*(1-u)*x[2] 
             +pow(u,3)*x[3]; 
        yu = pow(1-u,3)*y[0]+3*u*pow(1-u,2)*y[1]+3*pow(u,2)*(1-u)*y[2] 
            +pow(u,3)*y[3]; 
        printf("X: %i   Y: %i \n" , (int)xu , (int)yu) ; 
    } 
} 

int main(void) {
    int x[] = {0,75,50,300};
    int y[] = {0,2,140,100};
    bezierCurve(x,y);
    return 0;
}

https://ideone.com/glLXcB

2
Scm2017

Juste une note: si vous utilisez les formules habituelles présentées ici, ne vous attendez pas à ce que t = 0,5 renvoie le point à la moitié de la longueur de la courbe. Dans la plupart des cas, ce ne sera pas le cas.

En savoir plus ici sous "§23 - Tracer une courbe à intervalles de distance fixes" et ici =.

1
A.J.Bauer